可积模型又称为精确可解模型，是数学物理领域的一个重要分支。这些模型不但具有优美的数学结构，同时具有丰富的物理内涵，在数学和物理学的多个领域例如量子群和量子代数、场论、弦论、统计物理和凝聚态物理中都扮演着非常重要的角色，尤其是为某些重要的物理概念提供基准。几个著名的例子有：（1）二维伊辛模型的精确解为热力学相变理论提供了无可质疑的佐证，从而结束了人们关于有无热力学相变的纷争；（2）一维Hubbard模型的精确解证明了Mott绝缘体及Hubbard能隙的存在；（3）海森堡自旋链的精确解直接给出了严格的spinon元激发，从而阐明了多体系统中分数元激发的物理机制。

　　U(1)对称是物理学中最重要的对称性之一，它对应于粒子数的守恒定律。而U(1)对称破缺在很多物理系统中如高能物理、粒子物理、统计物理和凝聚态物理出现。在凝聚态物理中，典型的例子有超导、超流及自旋-轨道耦合系统等。目前，对这类问题的理论处理除了平均场理论和重整化群理论外没有特别好的办法，特别对U(1)对称破缺的强关联体系，这两种方法有时在定性上都不能保证其准确性。在过去几十年人们的确发现了一些U(1)对称破缺的可积模型，这些可积模型的精确解无疑会为理解U(1)对称破缺物理系统提供重要的基准。遗憾的是，几十年来，除了极个别的特殊例子，没有一个系统的方法可以求解这类模型。

　　求解可积模型的典型方法大致有三种：(1)Bethe于1931年提出的坐标Bethe ansatz方法；(2)上世纪70年代初Baxter发展的T-Q关系方法；(3)上世纪70年代末Faddeev学派基于Yang-Baxter方程提出的代数Bethe ansatz方法。这些方法在处理粒子数守恒可积模型中取得了很大成功，但在处理粒子数不守恒模型时却遇到了巨大困难，原因是这类方法是通过构造本征态来获取转移矩阵的本征值，因而强烈依赖真空态的存在。对粒子数不守恒的体系恰恰没有明显的真空态，使得这类模型的求解成为数学物理领域四十多年来的著名遗留难题。

　　最近，中科院物理研究所/北京凝聚态物理国家实验室（筹）凝聚态理论与材料计算实验室王玉鹏研究员领导的研究团队（物理所曹俊鹏研究员和西北大学杨文力教授、石康杰教授）在求解粒子数不守恒可积系统的理论方法方面取得了重要突破。他们利用矩阵的两个不变量：迹和行列式之间的联系，建立了转移矩阵的算子恒等式。因为转移矩阵是一个N阶多项式，它有N+1个未知系数，因此通过算子恒等式在N个点的方程和转移矩阵的渐近行为，可以完全确定转移矩阵的形式。基于这些恒等式，他们提出了推广的T-Q关系，进而得到了模型的精确解。以拓扑自旋环和非对角边界场自旋链模型为例，他们阐述了这一理论方法。他们的方法不依赖于矩阵的表示基，完全克服了“无真空态”的困难，解决了这一遗留多年的难题，建立了一个求解可积模型简单普适的理论方法。

　　相关论文发表在Phys. Rev. Lett. 111, 137201(2013) 和Nucl. Phys. B875[FS], 152(2013)。　

    此项工作得到国家自然科学基金和科技部“973”计划的支持。

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